La mathématique intervient dans la vie courante et dans des domaines plus abstraits. Les formules mathématiques permettent d’exploiter les chiffres en entreprise, en finance et dans le commerce. Le pourcentage d’évolution notamment est grand indicateur. Il exprime en chiffre l’évolution entre deux données et représente le calcul de base dans de nombreux domaines. Focus sur le pourcentage ou taux d’évolution !
Le taux d’évolution : définition et calcul !
Le taux d’évolution, encore appelé pourcentage d’évolution, est une formule mathématique qui permet d’observer la différence entre une valeur initiale et une valeur finale. Il sert à analyser des données en vue de tirer des conclusions. Pour calculer le taux d’évolution d’une valeur initiale par rapport à une valeur finale, il faut appliquer la formule suivante : Te = ((VF-VI) / VI) x 100.
Te, VF et VI désignent respectivement le taux d’évolution, la valeur finale et la valeur initiale. Cette formule permet de trouver le résultat en pourcentage.
Lorsque le taux d’évolution est positif, il se distingue d’un simple taux par le signe +. Il n’y a pas de risque de confusion lorsque le taux d’évolution est négatif. Le résultat trouvé après le calcul dépasse 100 % lorsque la valeur d’arrivée est supérieure au double de la valeur de départ.
Comme exemple, on considère une entreprise qui a une économie de 2000 euros à une date X et de 2200 euros à une date Y. Le taux d’évolution est de :
Taux d’évolution = ((2200-2000)/2000) x 100 = 10 %.
Le taux d’évolution réciproque
Le taux d’évolution réciproque se calcule de la manière suivante : Te’ = ((VI-VF)/VF) x 100.
Plus simplement, le calcul du taux d’évolution réciproque se fait en intervertissant les valeurs initiales et finales dans la formule du taux d’évolution.
Pour une valeur initiale de 2000 euros et une valeur finale de 2200 euros, dans une entreprise, on a :
Taux d’évolution réciproque = ((2000-2200)/2200) x 100 = – 9,09 %.
Bien que la différence ne soit pas grande, il faut noter que Te est différent de Te’.
Les taux Te et Te’ dépendent de l’unité avec laquelle les valeurs VI et VF sont exprimées.
Par ailleurs, le taux d’évolution permet de calculer le coefficient multiplicateur entre les valeurs VI et VF. Si VI > 0, ce coefficient est donné par la formule : c =1+Te.
En remplaçant Te par sa formule dans c, on obtient :
c = 1+ ((VF-VI) / VI) ;
c = (VI+VF-VI)/VI ;
c = VF/VI.
Ainsi, VF= c. VI
Ceci permet de calculer l’une des deux valeurs en connaissant l’autre et le coefficient multiplicateur.
L’indice de la valeur initiale par rapport à la valeur finale
L’indice de VF par rapport à VI est le nombre I = 100 x (VF/VI).
Si t est le taux d’évolution de VI par rapport à VF, on a : I = 100 x (1+t).
Pour les mêmes valeurs, I =100 x (2200/2000) = 110.
Alors, l’indice de 2200 par rapport à 2000 est de 110.
Si on calcule le taux d’évolution de 2000 par rapport à 2200, on a : Te = 0,1.
En appliquant la formule qui lie l’indice et le taux d’évolution, on a : I = 100 (1 +0,1) =110.
Ainsi, un indice de 110 correspond à une augmentation de 10 %. On peut comparer l’indice avec 100 pour déduire le taux d’évolution. En comparant 110 et 100, on conclut aisément que le taux d’évolution est de 10 %.
Un indice est toujours strictement positif. Lorsqu’il est supérieur à 100, il correspond à une hausse (VF>VI). Lorsqu’il est inférieur à 100, il correspond à une baisse (VF<VI).
L’intérêt du calcul des indices est de ramener les chiffres à 100 afin de mieux voir pour mieux comparer.
Le taux d’évolution moyen
On considère une quantité A qui subit 5 évolutions successives de 5 %, 10 %, 12 %, 15 % et 20 %. Cette quantité devient après ces 5 évolutions une quantité :
B = (1+0,2) x (1+0,15) x (1+0,12) x (1+0,10) x (1+0,05) x A ;
B = 1,785 x A.
On en déduit que le coefficient est de 1,785 et que le taux d’évolution global de 78,5 %.
Le taux d’évolution moyen est celui qui correspond à la moyenne des 5 taux. C’est le taux d’évolution qui 5 fois appliqué à A donne encore B.
Alors, on a : B = (1+tm) x (1+tm) x (1+tm) x (1+tm) x (1+tm) x A ;
B = (1+tm)5 x A.
De cette formule, on tire : (1+tm)5 = B/A.
Ceci implique que 1+tm = (B/A)1/5.
En remplaçant B par sa valeur initiale dans cette formule, on obtient 1+tm = ((1,785 x A)/A)1/5.
Cela implique que : 1+tm = 1,122 ;
D’où tm = 0,122.
En pourcentage, tm = 12,2 %.
Il faut noter que le taux moyen n’est pas égal à la somme des différents taux divisée par 5. Dans les entreprises, le taux d’évolution moyen permet de faire la différence entre le taux annuel et le taux mensuel.
